16.2 有理数型の内部構造

mpq_t型は，mpz_t型の整数を分子と分母に持つ有理数を表現するためのものです(see Integer Internals)。

標準形としては，分母が正かつ非ゼロの整数の既約分数となります。ゼロは0/1という形で表現します。

計算過程の各ステージごとに公約数を除する方法が，一般的には最良であるとされています。GCD(最大公約数)の計算はO(N^2)の演算が必要になるため，小さい公約数から削っていき，大きい公約数は後から除する方法を取っています。分母と分子に公約数がないということが分かれば，例えばmpq_mul関数においては，4組ではなく，2組のGCDだけ分かればよいことになります。

このような公約数の扱い方をすると，単純な因数分解においては必ずしも最適なものではなく，約せるかどうかの見通しも立ちづらいことになりますが，GMPはそれ以外の手段が取れません。Efficiencyでも述べましたが，この点はアプリケーションソフトの方でうまく対処して下さい。mpq_t演算のフレームワークは，mpq_numref関数とmpq_denref関数を使って直接分子と分母にアクセスするか，mpz_t変数を直接処理することを推奨しています。