投稿者: T.Kouya

[ Amazon ] ISBN 978-0-8176-4704-9, \13666(2010年4月現在)

　上記，”Handbook of Floating-point Arithmetic”の前書き部分を翻訳したので以下に提示する。
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初めに
　浮動小数点演算(Floating-point arithmetic)は，現代のコンピュータ上で数値計算を行うために，実数演算を近似する手法として，最も広範囲で利用されているものである。浮動小数点演算をざっくり述べるには短い言葉で十分だ。即ち，ある数xは，基数(radix)βの浮動小数点演算において，符号部(sign)s，有効小数部(significand)m，指数部(exponent)eを用いて，x = s×m×β^eと表現される。とはいえ，この演算を実装し，高速で可搬性のあるものにしようとすると，大変面倒な仕事をする羽目になる。少し拡大解釈すれば，浮動小数点演算という概念は(60進法ではあるが)古代バビロニアで発明されたとも，計算尺を使った計算にもその萌芽があるとも言われているが，最初の現代流の実装はコンラッド・ツーゼ(Konrad Zuse)が開発した5.33Hz駆動のZ3コンピュータ上でなされたものである。
　多種多様な浮動小数点演算の実装が大量に登場したのは1960年代から1980年代初期の頃である。その当時は基数も(2, 4, 16, 10が想定されていた)，小数部の桁数も，指数部の長さも標準化されていなかった。丸め方式やアンダーフロー，オーバーフロー，やってはいけない計算(5/0や\sqrt{-3}など)の扱いも，コンピュータ間の互換性は殆どないに等しい状態。標準的な実装が存在しないことが，数値計算ソフトウェアの信頼性や可搬性を向上させることを困難にしていたのだ。
　プログラマには有用であり，浮動小数点演算の実装者にとっては現実的な解決をもたらす，核となるコンセプトをもたらしたパイオニアは，ブレント(Brent)，コーディ(Cody)，カーハン(Kahan)，九鬼(Kuki)といった科学者たちである。彼らの努力によって，2進ベースの浮動小数点演算であるIEEE754-1985規格ができあがったのだ。その後，IEEE854-1987という「基数に依存しない浮動小数点演算規格」もできた。この規格化を指揮したのはカーハン(William Kahan)で，プログラマが利用できる計算環境の質が向上したのは，このIEEE754-1985規格のおかげなのである。近年ではさらにこの規格が改良され，新しいバージョンであるIEEE 754-2008規格が2008年8月にリリースされている。
　このIEEE754-1985規格が浮動小数点演算の挙動を思慮深く規定しているおかげで，研究者が非常にスマートで可搬性のあるアルゴリズムをデザインすることができるようになっているのだ。例えば，非常に精度の高い和の計算や積和計算が実行できるし，プログラムの重要な部分を形式的に証明できたりするのである。ただ不幸なことに，あまり知識のないユーザにはこの規格の精緻なところが殆ど理解されていない。更に憂慮すべきは，こういう部分がコンパイラの制作者にもしばしば見落とされていることだ。結果として，浮動小数点演算が曲解されることもしょっちゅうで，その性能を十分発揮し得ていないことも起きてしまう。
　このIEEE754規格，そしてその改良版の存在が，浮動小数点演算に関する膨大な知識の中から一部を抜粋して本を編むという決断を我々にさせたのだ。本書は数値アプリケーションのプログラマ，コンパイラ制作者，浮動小数点アルゴリズムのプログラマ，演算回路の設計者，そして浮動小数点演算を操るツールをもっと正確に理解したいと願っている学生や研究者にも役立つように構成されている。本書の執筆中，我々は，コーディングや設計のためにより直接役立つ使い方を示せるよう，記述したテクニックを実際のプログラムを使って説明するよう，できうる限り心がけたつもりだ。
　本書の第一部では，浮動小数点演算の歴史と基礎概念(フォーマット，例外処理，正確な丸め等)，そしてIEEE754, 854規格とその改良版の規格について様々な事柄を述べている。第二部ではこの浮動小数点演算規格の持つ性質がどのようにして，スマートだが分かりづらいアルゴリズムを開発するのに役立っているのかを解説する。加算，除算，FMA(fused mutiply-add)演算を用いた平方根のアルゴリズムも説明する。そして第三部では，浮動小数点演算が，(整数計算プロセッサ上の）ソフトウェアと（VLSIもしくはリコンフ回路といった）ハードウェアを使ってどのように実装されているのかを説明する。第四部では初等関数の実装方法を述べ，第五部では浮動小数点演算の精度保証や多倍長精度化といった，浮動小数点演算の拡張方法をご覧頂く。最後の第六部は全体のまとめ・今後の展望(perspective)と付録に充てた。
謝辞
　本書の準備段階の原稿の作成に当たっては，世界中に散る同僚と，上級エコール・ノルマル・リヨン校(Ecole Normale Superieure de Lyon)とリヨン大学(Universite de Lyon)の学生たちに読んでもらい助力を請うた。ニコラス・ボニファス(Nicolas Bonifas)，ピエール-イヴス(Pierre-Yves)・デイビッド(David)，ジーン-イヴス・レクセレント(Jean-Yves l’Exellent)，ワレン・フェルガソン(Warren Ferguson)，ジョン・ハリソン(Jon Harrison)，ニコラス・ハイアム(Nicholas Higham)，ニコラス・ルーヴェット(Nicolas Louvet)，ピーター・マークステイン(Peter Markstein)，エイドリアン・パンハルー(Adrien Panhaluex)，ギラーム・レヴィ(Guillaume Revy)，そしてジークフリード・ルンプ(Siegfried Rump)。彼らの助言と好奇心に感謝する。
　出版元であるバーカウザー(Birkhauser)・ボストンとの共同作業は非常に楽しかった。特に，トム・グラッソ(Tom Grasso)，レジーナ・ゴレンシュテイン(Regina Gorenshteyn)，そしてトリー・アダムス(Torrey Adams)の協力に感謝したい。
　ジーン-ミッチェル・ミュラー(Jean-Michel Muller)，ニコラス・ブリスベア(Nicolas Brisebarre)，フローレン・ド・ディネティン(Florent de Dinechin)，クロード-ピエール・ジーネロッド(Claude-Pierre Jeannerod)，ヴィンセント・ルヴェブレ(Vincent Lefevre)，ギラーム・メルクウィオン(Guillaume Melquiond)，ナタリー・レヴォル(Nathalie Revol)，ダミアン・ステーレ(Damien Stehle)，サージ・トレス(Serge Torres)
フランス，リヨンにて
2009年7月
——- ここまで ——–
　・・・いかがでしょう？　つーことで，ざっと本書を眺めてみた感想を次に述べてみたい。→[3/4]につづく

[ Amazon ] ISBN 978-0-8176-4704-9, \13666(2010年4月現在)

　う～ん，パラパラとめくってみただけの段階であるが，これを紹介しておかないと寝覚めが悪いのでさっさと記事を書いて公開しておく次第である。
　本書はＯ先生からのメールで，”Elementary Functions: Algorithms and Implementation“を書いたMullerがまた本を書いたらしい，と知らせて頂いたことでその存在を知ったのである。で，慌ててAmazonから注文したのだが，全然在庫がなかったらしく，到着まで一月待たされてしまった。しかし時代はThe Internet，到着以前に，著者のページとか出版元のページを眺めて前書きをざっと訳してみたりと，予備知識の習得ができたのである。
　・・・とゆーことで，本書の中身に言及する前に，前書きの翻訳を先にご紹介しておこう。まずそれを読んで，どんな本であるかを知っていただきたい。　→[2/4]につづく

[ Amazon ] ISBN 978-4-480-09283-0, \1200, E.Artin「ガロア理論入門」
[ Amazon ] ISBN 978-4-489-02057-9, \1800, 上野健爾「数学の視点」

　現代の代数学は抽象度の高い難解な学問（への入り口）として，理工系，特にガシャガシャ解析的計算にかまけていたい向きには忌避されがちなものに成り下がってしまっている。逆に，離散的構造には慣れっこになっている情報系の人間にとっては，剰余類が代数系になっているとか，多項式が体(field)の上に成立する代数系になっているという程度の現代代数学の知識は当然知っていないとヤバいものである。だもんで，一口に理系と言っても，「代数学」って奴を知らずに済ませられる分野と，必須知識になっちゃっている分野でかっきり分かれてしまっているように思われる。・・・いや，知らずに済ませたい人と，知らずにはいられない人に分かれる，と言った方が良いのかな。何せ，思想的史には重要な「構造主義」の原点になったのが，現代の抽象度の上がった代数学における「構造」のとらえ方なのである。寄せ集めの大量の要素からなる「集合」を漠然と眺めるだけでは飽きたらず，そこに寄せ集めの「構造」を知りたい，知ったことで要素の扱い方も見えてくるだろうと知った好奇心旺盛なインテリ人たちがこぞって構造主義→現代代数学に向き合うことになったのは当然の流れであった。
　しかし・・・この「構造」を主軸に据えた代数学を勉強するのは結構大変だ。何せ，高校までの「計算＝数学」としか思っていない大多数の馬鹿ども（かつてのワシも含む）にとっては思考のコペルニクス的転換を図らねば，理解の土台にすらたどり着けない代物なのである。ワシの経験では，大学学部時代にはさっぱり理解できず（まぁ，定期試験をクリアするぐらいの丸暗記的「知識」はついたけど），自分で教えるようになってから改めて勉強し直して「あ，な～るほど」と膝を打っているという有様である。計算とか具体例とかから個別の概念の積み上げによって下から高みに登っていくのが解析学系統の数学だとすれば，抽象的＝一般的な概念を提示して「上から」具体例を捕捉していくように知識の整理をしていくのが「現代の」代数学系統の数学ということになる。高校・大学学部教養レベルではそもそも整理するほどの数学知識がないので，まずは増やすことに専念する必要があるから前者のようなやり方が相応しいが，学んだ知識を整理して体系化し，新たに登場する未知の事象に向き合っていこうとすると，どこかの時点で後者のやり方も学んでおく必要がある。汎用性の高い「考え方」を血肉にするには，一度ぐらいはちんぷんかんぷんの森を彷徨わねばならないのである。
　「現代」の代数学がこのように抽象的な「構造」を扱うようになったのは，もともと「代数」ってのが計算操作そのものを指していた時代にぶつかった難問の解決にそれが不可欠だったからである。その難問とは「5次以上の代数方程式の解の公式を見つけること」であった。
　結論から先に言うと，有理数べき乗と四則演算を有限回適用するだけでは5次以上の代数方程式の解の公式は得られない。4次代数方程式までは存在する「解の公式」が5次になってしまうと途端に見えなくなってしまう。16世紀に4次まで解けたものが，100年以上も試行錯誤して5次方程式が解けないまま停滞していたのだ。結局，19世紀初めにアーベルとガロアが登場してようやく5次以上になると「解の公式が存在しない」という結論を得る。
　・・・が，問題はこの先である。
　結論は得られたものの，それをすっきりわかりやすく提示するための体系，すなわち「ガロア理論」がきれいに整うのは20世紀に入ってからである。そして整った体系は，方程式を解く計算手法を解説したかつての代数学を根底から変えてしまい，代数系(algebraic system)だの群(group)だの環(ring)だの体(field)だのという，方程式とその解が依って立つ抽象的な「構造」を説く「現代の代数学」になってしまったのである。それをコンパクトにまとめたのがE.Artin(アルティン）の「ガロア理論入門」である。・・・あ～，いつも以上に前置きが長くてすまん。
　「入門」という名前になっているが，原題には入門の文字はない。一応，学生向けの講義をまとめたものに基づいて1959年に原書が出版されているから，わかりやすい「筋立て」ではあるものの，れっきとしたガロア理論の解説書であり，「やさしい」と言えるかどうかは疑問だ。ましてやワシも含めて数学知識はかつてのエリート学生に比べて格段に落ちるから，そもそもアルティンが前提としている複素関数の基礎知識も怪しい。従って，これを理解しながら読み通すには，別の参考書が必要になりそうである。
　つーことで，アルティンの本を読み通すために，座右に置いておくのが相応しい参考書が上野健爾の「数学の視点」である。・・・しかしさぁ，これ，本のタイトル，ちゃんと考えて出したのか？と文句をぶーぶー言いたくなる。帯に「ガロワ（ガロア）理論」って書いてあるから内容が類推できたけど，「数学の視点」じゃぁ・・・アルティン本の知識を補ってくれる具体例満載の参考書だってことがさっぱりわからん。まぁ，線形代数やら複素解析やら代数系やら・・・解析学的な具体的知識の積み上げの末に，ガロア理論ができあがってきたというバックグラウンドを解説するのが目的だから，そこに見えてくるたくさんの「数学の視点」を提示したのだ，ってことなのかもしれないが，せめて副題にはガロアの文字が欲しいよね～・・・というのがワシの意見。
　矢野健太郎の「角の三等分」の議論は，この2冊の本で語られている理論体系に包含されるものなので，ヤノケン本では物足りない，食い足りないと思った人は，是非，アルティン本を追いかけつつ，上野本の助力を受けて是非とも「5次以上の解の公式が存在しない」ことを結論づけてしまった現代代数学の体系，ガロア理論を学んでいただきたい・・・ってエラそーに言っているワシも，これから学ぼうとする素人の一人に過ぎないのであるが。

　あっちあっちぃ～。寒い寒いと凍えていたら，あっちいことあっちぃこと。どーしてこー気温が不安定なんだか。野菜高等だけならまだしも，ここまま冷夏になって米の作柄に影響があったり，せっかくマシになってきた景気を腰折れさせたりしたらえらいこっちゃ。どーか今日のような暑い夏をお願いしますぅ～。
　つーことで，ＧＷになってから全然やる気が起こらないので，新装開店した戸田書店静岡本店に出撃することにした。ＧＷ中とはいえ，在来線は3両編成なのにそれほど混雑していなかった。さすがに掛川→静岡間では着席できなかったけど。車中，「清水次郎長」をじっと読み進めたが，東海道を清水に向かう列車の中で読むには相応しすぎる本。ちょっと学者特有の情報量満載，流れの悪い読みづらい文章には閉口したけど，一応静岡県民としては知っておくべき人の足跡を知るためには程よい厚さの（薄さの）本ではある。森の石松が実は三河生まれとはねぇ。
　葵タワーと言うわりには緑じゃない，真っ白い真新しいビルのB1～2階の3階分が戸田書店になっていた。買いそびれていた小谷野敦・編「翻訳家列伝101」，根本敬「因果鉄道の旅」，ますび先生自薦短編集「萌葱」「梅鼠」を入手。先週ららぽーと磐田で購入しまくった吉村昭「ひとり旅」，寺田文行・訳，アルティン「ガロア理論入門」などと併せて読まねばならぬ，読みたくて仕方ない書籍が山のように貯まってしまった。ガンガン読んでいきたいが，どーも長期の鬱傾向が続いている上に，貧窮モード2年目で極度に外出・出張を控え目にしているせいもあって，読了するまでに時間が掛かる＆読書の時間が作れないの2重苦に喘いでいるのだ。ま，こーなったらエンジンが掛かるまで地道によたよたリハビリをするほかないのだが，いつ本格復活出来るやら。
　ついでに葵タワー3階に出来た静岡市美術館を覗いてくる・・・けど，展示物は何もなし。展示室だけの風景ってのはシュールだ。

　唯一，入り口に紙吹雪を吹き出すオブジェクトが置いてあって，子供達が葉っぱに見立てた紙切れを突っ込んで吹き飛ばしていた。

　幹の部分に紙切れを入れる口が二つ開いていて，そこに突っ込むと上から空気の力ではき出される仕組み。とり・みきの「ダイホンヤ」「ラスト・ブックマン」に出てきた悪書追放ロボットみたいだな。
　場所が良いので，展示が始まったら通いたいなぁ。県立美術館は駅から結構歩く上に，東静岡だから駅前にはなぁんにもない・・・今はガンダムがあるらしいが，ワシは興味がないのでどーでもいい。普段，自然に囲まれた職場にいるせいか，フリータイムぐらいは都会の雑踏にまみれていたいのである。
　帰りは駿府公園を散策。直線的な堀がきれい。さすが家康の隠居城だけあって規模がでかいなぁ。

　昨年の地震で崩れた石垣の工事，完了するにはまだ時間が掛かりそうである。

　さて，良い休日だった。ゆっくり風呂入って今日は寝ます。

　ナンか，一向に暖かくならんなぁ。今日の夜は東京では霰が降ってきたらしい。ここはそれほどではないが，足下が寒いので電気ストーブはまだ片付けられず。あ～，鼻風邪もぐずぐずしていて，悪化はしないけど回復に至らず，それもこれも全部天候が悪いせいだ。野菜価格が高騰しているのも，普天間問題が泥沼化しているのも，求人倍率が低レベルでとどまっているのも全部天候不純のせいである。
　ワシが使わせてもらっている実験室のお隣でも外部回線を使いたいというお申し出があったので，この機会にフレッツ光ネクストに切り替えが出来ないかどうかを相談してみた。

幸谷智紀 様
平素よりＮＴＴ西日本をご利用いただきまして、誠にありがとうございます。
ＮＴＴ西日本　東海IPコールセンタ　xxxxxxxxと申します。
大変申し訳ございません、静岡県xxxxxxxxxxxxxx
はフレッツ光ネクストが未提供エリアですので、現時点での変更は
承ることができません。
提供エリアにつきましては順次拡大予定ですので、
ご理解いただきますようお願いいたします。
なお、下記URLにて提供エリアを随時ご確認いただけます。
http://flets-w.com/

つーことで結果は現在の所はダメとのこと。どーも市街地から遠いのがネックになっているようである。静岡県下では主要都市では大体オッケーになっているから，そのうちちょっと遠隔地でも提供地域になることは間違いないから，それを待つしかないか。まぁ，今使っているBフレッツの速度もマシになるようならいいんだけどさ。
　久々に一日で掃除洗濯風呂掃除のセットが完了した。どーもここんとこダラダラしていて鬱気味だったので気持ちが良い。ドカドカいろんな食材も買い込んで，大鍋カレーを2回作れる材料が揃ってしまった。今週からＧＷにかけてはカレー週間になりそうである。
　カレー漬けになる前に，パスタを作成して晩飯に食する。ここでやっと4年前に購入したテーブルコショウが空になった。

　この小汚い瓶ともやっとお別れ。つーても，我が家には静岡来県以来使い切れずにいる10年もののリンスという大物がまだ控えているので，賞味期限だの使用期限だのを無視した危険な物質が消え去ったわけではない。早く退治したいものだが，スポーツクラブ通いが続くうちは中々使う機会がないからなぁ・・・。でも頑張って使い切ります。
　久々に勉強しながら寝ます。そろそろぷちめれも復活させなきゃ。